10. Решите систему неравенств: д) \(\begin{cases} 15(x-2)+x(1-x) > x^2 \\ 6-2x > 0 \end{cases}\)

Решение:

1. Решим первое неравенство: \( 15(x-2)+x(1-x) > x^2 \Rightarrow 15x - 30 + x - x^2 > x^2 \Rightarrow 16x - 30 > 2x^2 \Rightarrow 2x^2 - 16x + 30 < 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 15 < 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 8x + 15 = 0 \): \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \). \( x_1 = \frac{8+\sqrt{4}}{2} = \frac{8+2}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{8-\sqrt{4}}{2} = \frac{8-2}{2} = 3 \). Так как парабола \( y=x^2-8x+15 \) ветвями вверх, то \( x^2 - 8x + 15 < 0 \) при \( 3 < x < 5 \).
2. Решим второе неравенство: \( 6-2x > 0 \Rightarrow 6 > 2x \Rightarrow x < 3 \).
3. Найдем пересечение решений: \( 3 < x < 5 \) и \( x < 3 \). Пересечения нет.

Ответ: Решений нет.