10. Решите уравнение: \(2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0\)

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \(\cos x\). Сделаем замену переменной: пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\(2y^2 + 5y + 2 = 0\)

Решим это квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\).

Корни \(y_1\) и \(y_2\):

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\)

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Теперь вернемся к замене \(y = \cos x\).

1. \(\cos x = -0.5\)

Это уравнение имеет решения. Основные решения: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\) и \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\) — любое целое число.

2. \(\cos x = -2\)

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции \(\cos x\) — \([-1, 1]\), а \(-2\) находится вне этого интервала.

Ответ: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\) и \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)