7. Найдите производную: \(\left(\frac{\mathrm{ctg} x}{x}\right)'\)

Решение:

Для нахождения производной частного \(\left(\frac{\mathrm{ctg} x}{x}\right)'\) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Здесь \(u = \mathrm{ctg} x\) и \(v = x\).

Найдем производные \(u'\) и \(v'\):

• \(u' = (\mathrm{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\)
• \(v' = (x)' = 1\)

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

\(\left(\frac{\mathrm{ctg} x}{x}\right)' = \frac{\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) \cdot x - \mathrm{ctg} x \cdot 1}{x^2}\)

\(= \frac{-\frac{x}{\sin^2 x} - \mathrm{ctg} x}{x^2}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\(sin^2 x)\) для упрощения:

\(= \frac{-\frac{x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x - \mathrm{ctg} x \cdot \sin^2 x}{x^2 \cdot \sin^2 x}\)

\(= \frac{-x - \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}\)

\(= \frac{-x - \cos x \sin x}{x^2 \sin^2 x}\)

Можно вынести минус из числителя:

\(= -\frac{x + \cos x \sin x}{x^2 \sin^2 x}\)

Ответ: \(-\frac{x + \cos x \sin x}{x^2 \sin^2 x}\)