8. Вычислите определенный интеграл: \(\int_1^2 (8x^3 + 6x - 7) dx\)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \(\int_1^2 (8x^3 + 6x - 7) dx\) сначала найдем первообразную для подынтегральной функции \(8x^3 + 6x - 7\).

Первообразная \(F(x)\) находится по правилам интегрирования:

• \(\int 8x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4\)
• \(\int 6x dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2\)
• \(\int -7 dx = -7x\)

Таким образом, первообразная \(F(x) = 2x^4 + 3x^2 - 7x\).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).

\(\int_1^2 (8x^3 + 6x - 7) dx = [2x^4 + 3x^2 - 7x]_1^2\)

\(= (2(2)^4 + 3(2)^2 - 7(2)) - (2(1)^4 + 3(1)^2 - 7(1))\)

\(= (2 16 + 3 4 - 14) - (2 1 + 3 1 - 7)\)

\(= (32 + 12 - 14) - (2 + 3 - 7)\)

\(= (44 - 14) - (5 - 7)\)

\(= 30 - (-2)\)

\(= 30 + 2 = 32\)

Ответ: \(32\)