4. Найдите значение выражения: \(\frac{12}{\sin^2 270^\circ + \cos^2 2070^\circ}\)

Решение:

Для вычисления данного выражения нам нужно найти значения \(\sin 270^\circ\) и \(\cos 2070^\circ\).

1. \(\sin 270^\circ\): На единичной окружности угол \(270^\circ\) соответствует точке \((0, -1)\). Синус — это ордината точки, значит \(\sin 270^\circ = -1\).
2. \(\cos 2070^\circ\): Угол \(2070^\circ\) можно упростить, вычитая полные обороты (360°). \(2070^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 270^\circ\). Значит, \(\cos 2070^\circ = \cos 270^\circ\). На единичной окружности угол \(270^\circ\) соответствует точке \((0, -1)\). Косинус — это абсцисса точки, значит \(\cos 270^\circ = 0\).

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\(\frac{12}{\sin^2 270^\circ + \cos^2 2070^\circ} = \frac{12}{(-1)^2 + 0^2} = \frac{12}{1 + 0} = \frac{12}{1} = 12\)

Ответ: \(12\)