10. Решите уравнение: 2 sin²x + 3 cos x = 0

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
2. Подставим это в уравнение: \[ 2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \]
3. Раскроем скобки: \[ 2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0 \]
4. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, сделав замену \( t = \cos x \): \[ -2t^2 + 3t + 2 = 0 \] или \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).
6. \( \sqrt{D} = 5 \).
7. Найдем корни для \( t \):
   • \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \).
   • \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \).
8. Вернемся к замене:
   • \( \cos x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) может принимать значения только от -1 до 1.
   • \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
9. Решением \( \cos x = -\frac{1}{2} \) являются: \[ x = \(\pm\) \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\) k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)