12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = 7x² - 14x + 5

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (7x^2 - 14x + 5)' \).
2. \( y' = 7 \cdot 2x - 14 = 14x - 14 \).
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   • \( 14x - 14 = 0 \)
   • \( 14x = 14 \)
   • \( x = 1 \)
4. Определим промежутки монотонности, анализируя знак производной:
   • Если \( x < 1 \), то \( y' = 14x - 14 < 14(1) - 14 = 0 \). Функция убывает.
   • Если \( x > 1 \), то \( y' = 14x - 14 > 14(1) - 14 = 0 \). Функция возрастает.
5. Точка \( x = 1 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
6. Найдем значение функции в точке минимума: \( y(1) = 7(1)^2 - 14(1) + 5 = 7 - 14 + 5 = -2 \).

Ответ: Промежутки монотонности: функция убывает на \( (-\infty; 1] \), возрастает на \( [1; +\infty) \). Точка экстремума: \( x=1 \) (точка минимума), \( y_{min} = -2 \).