5. Вычислите предел: lim (x+3)/(9-x²) x→3

Решение:

1. При \( x \to 3 \) числитель \( x+3 \) стремится к \( 3+3 = 6 \), а знаменатель \( 9-x^2 \) стремится к \( 9-3^2 = 9-9 = 0 \).
2. Так как мы получаем неопределённость вида \( \frac{6}{0} \), предел будет равен \( \pm \infty \).
3. Рассмотрим знаменатель \( 9-x^2 = (3-x)(3+x) \).
4. Когда \( x \to 3 \), \( x \) может быть как больше, так и меньше 3.
5. Если \( x \to 3^+ \) (x приближается к 3 справа, т.е. x > 3), то \( 3-x < 0 \) и \( 3+x > 0 \), значит \( 9-x^2 < 0 \). Предел равен \( \frac{6}{0^-} = -\infty \).
6. Если \( x \to 3^- \) (x приближается к 3 слева, т.е. x < 3), то \( 3-x > 0 \) и \( 3+x > 0 \), значит \( 9-x^2 > 0 \). Предел равен \( \frac{6}{0^+} = +\infty \).
7. Так как односторонние пределы не равны, общий предел не существует.

Ответ: Предел не существует