10. Решите уравнение: $$2\sin2x\cos x - \sin2x = 0$$

Решение:

Для решения уравнения \(2\sin2x\cos x - \sin2x = 0\) вынесем общий множитель \(\sin2x\) за скобки:

\[ \sin2x (2\cos x - 1) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(\sin2x = 0\)

Это уравнение решается как \(2x = \pi k\), где \(k\) — целое число.

Отсюда \(x = \frac{\pi k}{2}\).

Случай 2: \(2\cos x - 1 = 0\)

\(2\cos x = 1\)

\(\cos x = \frac{1}{2}\)

Это уравнение имеет решения \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) — целое число.

Объединяя оба случая, получаем:

\(x = \frac{\pi k}{2}\) или \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(k, n\) — целые числа.

Ответ: $$x = \frac{\pi k}{2}$$ и $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.