5. Вычислите предел: $$\lim_{x\to\infty} \frac{2x+3}{9+x^2}$$

Решение:

Для вычисления предела \(\lim_{x\to\infty} \frac{2x+3}{9+x^2}\) при \(x\to\infty\), мы можем разделить числитель и знаменатель на старшую степень \(x\) в знаменателе, которая равна \(x^2\).

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{9}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}} \]

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{\frac{9}{x^2} + 1} \]

Теперь, когда \(x\to\infty\), члены вида \(\frac{c}{x^n}\) (где \(c\) — константа, \(n > 0\)) стремятся к нулю.

Следовательно:

\[ \frac{0 + 0}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0 \]

Ответ: 0