12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: $$y = -3x^2 + 12x + 5$$

Решение:

Функция \(y = -3x^2 + 12x + 5\) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-3\)), ветви параболы направлены вниз.

1. Промежутки монотонности:
   Найдем производную функции: \(y' = -6x + 12\).
   Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, приравняем производную к нулю:
   \(-6x + 12 = 0\)
   \(-6x = -12\)
   \(x = 2\)
   Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных точкой \(x=2\):
   - Если \(x < 2\) (например, \(x=0\)), то \(y' = -6(0) + 12 = 12 > 0\). Значит, функция возрастает на интервале \((-\infty, 2)\).
   - Если \(x > 2\) (например, \(x=3\)), то \(y' = -6(3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0\). Значит, функция убывает на интервале \((2, \infty)\).
2. Точки экстремума:
   При \(x = 2\) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум.
   Найдем значение функции в точке максимума:
   \(y(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 5 = -3(4) + 24 + 5 = -12 + 24 + 5 = 17\).
   Таким образом, точка максимума — \((2, 17)\). Минимума у данной функции нет.

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \((-\infty, 2)\), убывает на \((2, \infty)\).
• Точка экстремума: максимум в точке \((2, 17)\).