10. Решите уравнение: 2sin²x - 3sinx - 2 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдём корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \).

Первый случай: \( \sin x = 2 \).

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

Второй случай: \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

Общее решение этого уравнения:

\[ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n \]

Так как \( \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} \), то:

\[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \]

Или, что то же самое:

\[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \]

Ответ: x = (-1)ⁿ⁺¹ π/6 + πn, где n ∈ Z