8. Вычислите определенный интеграл: ∫₂³ (4x - 3x² - 1) dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 4x - 3x^2 - 1 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \int (4x - 3x^2 - 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} - x = 2x^2 - x^3 - x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_2^3 (4x - 3x^2 - 1) dx = [2x^2 - x^3 - x]_2^3 \]

Подставим верхний предел \( x = 3 \):

\[ F(3) = 2(3)^2 - (3)^3 - 3 = 2(9) - 27 - 3 = 18 - 27 - 3 = -12 \]

Подставим нижний предел \( x = 2 \):

\[ F(2) = 2(2)^2 - (2)^3 - 2 = 2(4) - 8 - 2 = 8 - 8 - 2 = -2 \]

Вычислим разность:

\[ F(3) - F(2) = -12 - (-2) = -12 + 2 = -10 \]

Ответ: -10