7. Найдите производную: (x² ctgx)′

Решение:

Для нахождения производной произведения \( u(x)v(x) \) используется формула \( (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).

В данном случае \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = \text{ctg}x \).

Найдём производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):

\( u'(x) = (x^2)' = 2x \)

\( v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \) или \( -\text{cosec}^2 x \).

Теперь подставим найденные производные в формулу:

\[ (x^2 \text{ ctg}x)' = (x^2)' \text{ ctg}x + x^2 (\text{ctg}x)' \]

\[ = 2x \cdot \text{ctg}x + x^2 \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) \]

\[ = 2x \text{ ctg}x - \frac{x^2}{\sin^2 x} \]

Ответ: 2x ctgx - x²/sin²x