5. Вычислите предел: lim (3x² - 5x + 2) / (9 - x²) как x → ∞

Решение:

Чтобы вычислить предел функции при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе. В данном случае старшая степень \( x \) в знаменателе — \( x^2 \).

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x + 2}{9 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{9}{x^2} - \frac{x^2}{x^2}} \]

\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{\frac{9}{x^2} - 1} \]

Когда \( x \to \infty \), дроби \( \frac{5}{x} \), \( \frac{2}{x^2} \) и \( \frac{9}{x^2} \) стремятся к нулю.

\[ = \frac{3 - 0 + 0}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3 \]

Ответ: -3