10. Решите уравнение √5х - 6 - x = 0

Решение:

1. Перенесём \( x \) в правую часть уравнения:

\[ \sqrt{5x - 6} = x \]

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо выполнение двух условий:

1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 5x - 6 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 6 \Rightarrow x \ge \frac{6}{5} \).

2) Правая часть уравнения (которая равна корню) также должна быть неотрицательной: \( x \ge 0 \).

Объединяя эти условия, получаем \( x \ge \frac{6}{5} \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{5x - 6})^2 = x^2 \]

\( 5x - 6 = x^2 \)

Приведём к квадратному уравнению:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]

Проверим найденные корни на соответствие условию \( x \ge \frac{6}{5} \) (то есть \( x \ge 1.2 \)).

• Для \( x_1 = 3 \): \( 3 \ge 1.2 \) — верно.
• Для \( x_2 = 2 \): \( 2 \ge 1.2 \) — верно.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 2; 3.