12. Найдите наибольшее значение функции y = x³ + 2x² - 4x + 4 на отрезке [-2; 0].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 + 4x - 4 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 + 4x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \).
4. Корни производной:

\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

Проверим, попадают ли критические точки на заданный отрезок \( [-2; 0] \).

• \( x_1 = \frac{2}{3} \) не принадлежит отрезку \( [-2; 0] \).
• \( x_2 = -2 \) принадлежит отрезку \( [-2; 0] \).

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, попадающих на отрезок:

• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 0 + 0 - 0 + 4 = 4 \).

Сравним полученные значения: 12 и 4. Наибольшее значение равно 12.

Ответ: 12.