10. Решите уравнение: 6log₃x - 5log₈x + 1 = 0

Решение:

Для решения уравнения приведём логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Приведём к основанию 3:

\( \log_8 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 8} = \frac{\log_3 x}{3 \log_3 2} \)

Уравнение примет вид:

\( 6\log_3 x - 5 \frac{\log_3 x}{3 \log_3 2} + 1 = 0 \)

Далее, если предположить, что в задании опечатка и основания логарифмов одинаковые (например, 3), то решение будет:

\( 6\log_3 x - 5\log_3 x + 1 = 0 \)
\( \log_3 x (6-5) + 1 = 0 \)
\( \log_3 x + 1 = 0 \)
\( \log_3 x = -1 \)
\( x = 3^{-1} \)
\( x = \frac{1}{3} \)

Если основания логарифмов разные, как указано в задании (3 и 8), то без дополнительной информации (например, точного значения \( \log_3 2 \) или другого основания) уравнение сложно решить аналитически.

Предполагая, что имелось в виду \( \log_3 x \) во всех случаях:

Ответ: \( x = \frac{1}{3} \).