3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \(27^x \ge \left\(\frac{1}{3}\right\)^{x+2}; 2) (6-x)(x+1) > 0;

Решение:

1. \(27^x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}\)
   \((3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2}\)
   \(3^{3x} \ge 3^{-x-2}\)
   \(3x \ge -x - 2\)
   \(4x \ge -2\)
   \(x \ge -\frac{1}{2}\)
2. \((6-x)(x+1) > 0\)
   Приравняем к нулю: \(6-x = 0 \Rightarrow x=6\), \(x+1 = 0 \Rightarrow x=-1\).
   Отмечаем точки на числовой оси: -1 и 6. Определяем знаки на интервалах.
   Для \(x=-2\): \((6-(-2))(-2+1) = (8)(-1) = -8 < 0\).
   Для \(x=0\): \((6-0)(0+1) = (6)(1) = 6 > 0\).
   Для \(x=7\): \((6-7)(7+1) = (-1)(8) = -8 < 0\).
   Значит, \(x \in (-1; 6)\).

Ответ: 1) \(x \ge -\frac{1}{2}\); 2) \(x \in (-1; 6)\).