8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см., угол между этой диагональю и образующей равен 60°. Вычислите объём цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна 48 см. Угол между диагональю и образующей (высотой) равен 60°.

Пусть \( d = 48 \) см — диагональ осевого сечения, \( h \) — высота цилиндра (образующая), \( D \) — диаметр основания цилиндра.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, диаметром и диагональю осевого сечения, имеем:

• \( h = d \cos 60° = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \) см.
• \( D = d \sin 60° = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \) см.
• Радиус основания: \( r = \frac{D}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \) см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi r^2 h \).

\( V = \pi (12\sqrt{3})^2 \cdot 24 = \pi \cdot (144 \cdot 3) \cdot 24 = \pi \cdot 432 \cdot 24 = 10368\pi \) см³.

Ответ: \( V = 10368\pi \) см³.