11. Найдите наименьшее значение функции y = 2x² - 5x + \(\ln\) x - 3 на отрезке [5/6; 7/6]

Решение:

1. Найдём производную функции \( y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3 \):

\( y' = (2x^2 - 5x + \ln x - 3)' = 4x - 5 + \frac{1}{x} \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \)
Умножим на \( x \) (учитывая, что \( x > 0 \) для \( \ln x \)):

\( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \( [\frac{5}{6}; \frac{7}{6}] \).

\( 1 \) принадлежит отрезку, так как \( \frac{5}{6} \approx 0.83 \), \( \frac{7}{6} \approx 1.17 \).

\( \frac{1}{4} = 0.25 \) не принадлежит отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке \( x=1 \) и на концах отрезка \( x=\frac{5}{6}, x=\frac{7}{6} \).

\( y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln(1) - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6 \)

\( y(\frac{5}{6}) = 2(\frac{5}{6})^2 - 5(\frac{5}{6}) + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = 2(\frac{25}{36}) - \frac{25}{6} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = \frac{50}{36} - \frac{150}{36} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = \frac{25}{18} - \frac{75}{18} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = -\frac{50}{18} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = -\frac{25}{9} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 \approx -2.78 - 0.18 - 3 = -5.96 \)

\( y(\frac{7}{6}) = 2(\frac{7}{6})^2 - 5(\frac{7}{6}) + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = 2(\frac{49}{36}) - \frac{35}{6} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = \frac{98}{36} - \frac{210}{36} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = \frac{49}{18} - \frac{105}{18} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = -\frac{56}{18} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = -\frac{28}{9} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 \approx -3.11 + 0.15 - 3 = -5.96 \)

Сравним значения: \( -6 \) (при \( x=1 \)), \( \approx -5.96 \) (при \( x=5/6 \)), \( \approx -5.96 \) (при \( x=7/6 \)).

Наименьшее значение равно -6.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке равно -6.