10. Решите уравнение \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-2} \).

Тогда уравнение примет вид:

• \( y^2 - y - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение для \( y \). Найдем дискриминант:

• \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

Найдем корни \( y \):

• \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = 3 \)
• \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-2} \) и решим два уравнения:

1) \( \frac{1}{x-2} = 3 \)

• \( 1 = 3(x-2) \)
• \( 1 = 3x - 6 \)
• \( 3x = 7 \)
• \( x = \frac{7}{3} \)

2) \( \frac{1}{x-2} = -2 \)

• \( 1 = -2(x-2) \)
• \( 1 = -2x + 4 \)
• \( 2x = 3 \)
• \( x = \frac{3}{2} \)

Необходимо проверить, что знаменатель \( x-2 \) не равен нулю. Для \( x = \frac{7}{3} \), \( x-2 = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3} \ne 0 \). Для \( x = \frac{3}{2} \), \( x-2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \ne 0 \).

Ответ: \( \frac{3}{2}; \frac{7}{3} \)