№10. Решите уравнение: \( \sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + 8\cos(\pi+x) + 7 = 0 \)

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими формулами приведения:

\( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \)

\( \cos(\pi+x) = -\cos x \)

Подставим эти преобразования в исходное уравнение:

\[ (\cos x)^2 + 8(-\cos x) + 7 = 0 \]

\( \cos^2 x - 8\cos x + 7 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 8y + 7 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем его корни:

Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \).

\( y_1 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8+6}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( y_2 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8-6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \cos x \).

1. \( \cos x = 7 \) — это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.

2. \( \cos x = 1 \)

Решением этого уравнения является \( x = 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).