№9. В треугольнике ABC \( AC = BC = 25 \), \( \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} \). Найдите AB.

Решение:

Треугольник ABC является равнобедренным, так как \( AC = BC \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \). Следовательно, \( \sin A = \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} \).

Найдем \( \cos B \). Так как \( B \) — угол треугольника, то \( 0 < B < 180^{\circ} \). Так как \( \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} > 0 \), то \( B \) может быть как острым, так и тупым. Однако, поскольку \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \), то \( \cos^2 B = 1 - \sin^2 B \).

\[ \cos^2 B = 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{91}{100} = \frac{100 - 91}{100} = \frac{9}{100} \]

Значит, \( \cos B = \pm \sqrt{\frac{9}{100}} = \pm \frac{3}{10} \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании \( A \) и \( B \) могут быть только острыми (так как \( A+B < 180^{\circ} \) и \( A=B \), то \( 2B < 180^{\circ} \), \( B < 90^{\circ} \)). Следовательно, \( \cos B = \frac{3}{10} \).

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos B \]

Подставим значения:

\[ AB^2 = 25^2 + 25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \frac{3}{10} \]

\( AB^2 = 625 + 625 - 2 \cdot 625 \cdot \frac{3}{10} \)

\( AB^2 = 1250 - 1250 \cdot \frac{3}{10} \)

\( AB^2 = 1250 - 125 \cdot 3 \)

\( AB^2 = 1250 - 375 \)

\( AB^2 = 875 \)

Найдем \( AB \):

\[ AB = \sqrt{875} = \sqrt{25 \cdot 35} = 5\sqrt{35} \]

Ответ: \( 5\sqrt{35} \).