№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением \( S(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}t^3 + 1 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени \( t=3c \), если \( S \) — путь (м), \( t \) — время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути по времени:

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}t^3 + 1 \right) \]

Вычислим производную:

\[ v(t) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 - \frac{1}{3} \cdot 3t^2 = t^3 - t^2 \]

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости по времени (или вторая производная от пути):

\[ a(t) = v'(t) = S''(t) = \frac{d}{dt} (t^3 - t^2) \]

Вычислим производную:

\[ a(t) = 3t^2 - 2t \]

Теперь найдём скорость и ускорение в момент времени \( t=3c \):

Скорость:

\[ v(3) = 3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18 \text{ м/с} \]

Ускорение:

\[ a(3) = 3(3^2) - 2(3) = 3(9) - 6 = 27 - 6 = 21 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: скорость 18 м/с, ускорение 21 м/с².