10. Решите уравнение x(x – 1)(x – 3)(х – 4) = 40. В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству x<5.

Решение:

Перегруппируем множители для удобства:

\[ (x(x-4))((x-1)(x-3)) = 40 \]

\[ (x^2 - 4x)(x^2 - 3x - x + 3) = 40 \]

\[ (x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) = 40 \]

Введём замену переменной: пусть \( y = x^2 - 4x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y(y+3) = 40 \]

\[ y^2 + 3y - 40 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = 3^2 - 4 · 1 · (-40) = 9 + 160 = 169 \).

\[ \sqrt{D} = 13 \]

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 - 4x \) и решим два уравнения:

1. \( x^2 - 4x = 5 \)

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36 \).

\[ x = \frac{4 ± · 6}{2} \]

\[ x_1 = \frac{4+6}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{4-6}{2} = -1 \]

2. \( x^2 - 4x = -8 \)

\[ x^2 - 4x + 8 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · 8 = 16 - 32 = -16 \).

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Мы нашли два действительных корня исходного уравнения: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).

По условию, нужно записать корни, удовлетворяющие неравенству \( x < 5 \).

Корень \( x_1 = 5 \) не удовлетворяет строгому неравенству \( x < 5 \).

Корень \( x_2 = -1 \) удовлетворяет неравенству \( x < 5 \).

Ответ: -1