8. В ботаническом саду оформляют экспозицию роз. На одной из клумб экспозиции ландшафтный дизайнер решил разместить кусты роз так, чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов, при этом рядов на 8 больше, чем кустов в каждом ряду. Определите, можно ли на клумбе посадить 128 кустов роз. Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть \( x \) — количество кустов в каждом ряду.

Тогда количество рядов равно \( x + 8 \).

Общее количество кустов равно произведению количества кустов в ряду на количество рядов:

\[ x(x+8) = N \]

где \( N \) — общее количество кустов.

Нам нужно узнать, можно ли посадить 128 кустов роз. Подставим \( N = 128 \) и решим уравнение:

\[ x(x+8) = 128 \]

\[ x^2 + 8x - 128 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 24}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 24}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Так как количество кустов не может быть отрицательным, подходит только \( x = 8 \).

Если в каждом ряду 8 кустов, то количество рядов будет \( 8 + 8 = 16 \).

Проверим: \( 8 \text{ кустов/ряд} \times 16 \text{ рядов} = 128 \text{ кустов} \).

Ответ: Да, можно посадить 128 кустов роз. При таком размещении в каждом ряду будет 8 кустов, а всего рядов будет 16.