9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза. \( r \) — радиус вписанной окружности.

Известно, что \( c = 10 \) см и \( r = 2 \) см.

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

\[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 2 = \frac{a+b-10}{2} \]

\[ 4 = a+b-10 \]

\[ a+b = 14 \]

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Мы знаем, что \( a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100 \) (по теореме Пифагора).

Возведём в квадрат сумму катетов:

\[ (a+b)^2 = 14^2 \]

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 196 \]

Подставим \( a^2 + b^2 = 100 \):

\[ 100 + 2ab = 196 \]

\[ 2ab = 196 - 100 \]

\[ 2ab = 96 \]

Теперь найдём площадь:

\[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{4}(2ab) = \frac{1}{4}(96) = 24 \]

Ответ: 24 см²