10. Решите задачу: Расстояние между двумя пристанями по реке равно 27км. Катер проплывает его по течению реки за 1,5 ч., а против течения за 2ч. 15 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Краткое пояснение:

Для решения задачи воспользуемся формулой \( ext{расстояние} = ext{скорость} imes ext{время} \) и составим систему уравнений, учитывая, что скорость по течению равна сумме собственной скорости катера и скорости течения, а скорость против течения — разности этих скоростей.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим переменные.
   Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч), \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).
2. Шаг 2: Запишем скорость по течению и против течения.
   Скорость по течению: \( v_к + v_т \)
   Скорость против течения: \( v_к - v_т \)
3. Шаг 3: Переведем время движения против течения в часы.
   \( 2 ext{ ч. } 15 ext{ мин.} = 2 + 15/60 = 2 + 1/4 = 2.25 \) часа.
4. Шаг 4: Составим уравнения, используя формулу \( ext{расстояние} = ext{скорость} imes ext{время} \).
   По течению: \( 27 = (v_к + v_т) imes 1.5 \)
   Против течения: \( 27 = (v_к - v_т) imes 2.25 \)
5. Шаг 5: Выразим суммы и разности скоростей из уравнений.
   \( v_к + v_т = 27 / 1.5 = 18 \) (1)
   \( v_к - v_т = 27 / 2.25 = 12 \) (2)
6. Шаг 6: Решим полученную систему уравнений сложением. Сложим уравнение (1) и (2):
   \( (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 18 + 12 \)
   \( 2v_к = 30 \)
   \( v_к = 30 / 2 = 15 \) км/ч.
7. Шаг 7: Найдем скорость течения, подставив значение \( v_к \) в уравнение (1):
   \( 15 + v_т = 18 \)
   \( v_т = 18 - 15 = 3 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера — 15 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.