10. S_ABC = ? (∠C = 90°, AB = 10, AM = MC, MB = √73)

Обозначим \(AC=x\), \(CB=y\). Так как M — середина AC, то \(MC=\frac{x}{2}\).

Из прямоугольного треугольника MCB: \(y^2+\frac{x^2}{4}=73\). Из прямоугольного треугольника ACB: \(x^2+y^2=100\).

Вычитаем первое равенство из второго: \(\frac{3x^2}{4}=27\), следовательно, \(x=6\). Тогда \(y^2=100-36=64\), то есть \(y=8\).

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\).

Ответ: 24.