9. AD : DC = 2 : 5. S_ABC = ? (AB = 17, BC = 25, BD ⟂ AC)

Пусть \(AD=2k\), \(DC=5k\), а \(BD=h\). По теореме Пифагора: \(h^2+4k^2=17^2\) и \(h^2+25k^2=25^2\).

Вычитая уравнения, получаем \(21k^2=625-289=336\), значит \(k^2=16\) и \(k=4\). Тогда \(AC=7k=28\).

Из \(h^2+4\cdot16=289\) следует \(h^2=225\), поэтому \(BD=15\). Площадь: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot28\cdot15=210\).

Ответ: 210.