10. Укажите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = -x⁴ + 4x² - 3.

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдём её производную:

\( f'(x) = (-x^4 + 4x^2 - 3)' = -4x^3 + 8x \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -4x^3 + 8x = 0 \)

\( -4x(x^2 - 2) = 0 \).

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x^2 = 2 \), то есть \( x = ±\sqrt{2} \).

Разобьём числовую прямую на интервалы по критическим точкам: \( (-∞, -√2) \), \( (-√2, 0) \), \( (0, √2) \), \( (√2, +∞) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• На \( (-∞, -√2) \), возьмём \( x = -2 \): \( f'(-2) = -4(-2)((-2)^2 - 2) = 8(4 - 2) = 8 · 2 = 16 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (-√2, 0) \), возьмём \( x = -1 \): \( f'(-1) = -4(-1)((-1)^2 - 2) = 4(1 - 2) = 4 · (-1) = -4 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (0, √2) \), возьмём \( x = 1 \): \( f'(1) = -4(1)(1^2 - 2) = -4(1 - 2) = -4 · (-1) = 4 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (√2, +∞) \), возьмём \( x = 2 \): \( f'(2) = -4(2)(2^2 - 2) = -8(4 - 2) = -8 · 2 = -16 < 0 \). Функция убывает.

Итак:

Функция возрастает на интервалах \( [-√2, 0] \) и \( [0, √2] \). Объединяя, получаем \( [-√2, √2] \).

Функция убывает на интервалах \( (-∞, -√2] \) и \( [√2, +∞) \).

Ответ: Возрастает на \( [-√2, √2] \). Убывает на \( (-∞, -√2] \) и \( [√2, +∞) \).