9. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.

Решение:

Пусть \( O \) — центр нижнего основания, \( H \) — середина оси цилиндра (центр верхнего основания). Радиус цилиндра \( R = 8 \) см. Расстояние от \( O \) до точки \( A \) на плоскости нижнего основания, через которую проходит прямая, равно \( OA = 12 \) см.

Пусть \( B \) — точка на образующей цилиндра, через которую проходит прямая. Расстояние от \( B \) до плоскости нижнего основания равно \( h_B = 2 \) см. Высота цилиндра равна \( h \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAB' \), где \( B' \) — проекция точки \( B \) на плоскость нижнего основания. Длина \( OB' = OA = 12 \) см. Длина \( BB' = h_B = 2 \) см.

Рассмотрим треугольник \( OH A' \), где \( A' \) — точка на оси цилиндра, лежащая на одном уровне с \( A \) (это невозможно, т.к. \( OA \) перпендикулярно оси).

Переформулируем: прямая проходит через середину оси цилиндра (центр верхнего основания \( O_1 \)). Пусть \( O_2 \) — центр нижнего основания. \( R = O_2K = O_1K = 8 \) см, где \( K \) — точка на окружности основания.

Прямая проходит через \( O_1 \). Точка \( A \) на плоскости нижнего основания, \( O_2A = 12 \) см. Точка \( B \) на образующей, \( h_B = 2 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью цилиндра, радиусом основания и диагональю боковой грани. Это не подходит.

Рассмотрим сечение, проходящее через ось цилиндра и точку \( A \). В этом сечении прямая проходит через середину \( O_1 \) оси. Опустим перпендикуляр из \( A \) на ось цилиндра, это будет \( O_2 \). \( O_2A = 12 \). Пусть \( B \) — точка пересечения прямой с образующей. Высота \( B \) над нижним основанием равна 2. \( h_B = 2 \). Высота цилиндра \( h \). \( O_1B \) — это часть прямой. \( B \) имеет координаты \( (x_B, y_B, z_B) \).

Пусть ось цилиндра совпадает с осью \( Z \). \( O_2 = (0, 0, 0) \), \( O_1 = (0, 0, h) \). Точка \( A \) находится в плоскости \( z=0 \) на расстоянии 12 от \( O_2 \). Например, \( A = (12, 0, 0) \). Прямая проходит через \( O_1 = (0, 0, h) \) и \( A = (12, 0, 0) \).

Уравнение прямой, проходящей через \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \): \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} \).

\( \frac{x-0}{12-0} = \frac{y-0}{0-0} = \frac{z-h}{0-h} \)

\( \frac{x}{12} = \frac{y}{0} = \frac{z-h}{-h} \).

Из \( y/0 \) следует, что \( y=0 \).

\( \frac{x}{12} = \frac{z-h}{-h} \).

Точка \( B \) лежит на образующей. Образующая — это вертикальный отрезок на поверхности цилиндра. Пусть \( B \) имеет координаты \( (x_B, y_B, z_B) \). \( x_B^2 + y_B^2 = R^2 = 8^2 = 64 \). \( z_B = 2 \).

Так как \( y=0 \) для прямой, то \( y_B = 0 \). Тогда \( x_B^2 = 64 \), \( x_B = ± 8 \). Возьмём \( x_B = 8 \).

Подставим \( x=8 \) и \( z=2 \) в уравнение прямой:

\( \frac{8}{12} = \frac{2-h}{-h} \)

\( \frac{2}{3} = \frac{2-h}{-h} \)

\( 2(-h) = 3(2-h) \)

\( -2h = 6 - 3h \)

\( 3h - 2h = 6 \)

\( h = 6 \) см.

Ответ: \( 6 \) см.