11. Решите неравенство log₂(x² + 7x + 10) < -2.

Решение:

Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть больше нуля.

\( x^2 + 7x + 10 > 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 7x + 10 = 0 \). Дискриминант \( D = 7^2 - 4 · 1 · 10 = 49 - 40 = 9 \). Корни \( x_1 = \frac{-7 + ·3}{2} \) и \( x_2 = \frac{-7 - 3}{2} \). \( x_1 = -2 \), \( x_2 = -5 \).

Парабола \( y = x^2 + 7x + 10 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 7x + 10 > 0 \) при \( x < -5 \) или \( x > -2 \). Итак, ОДЗ: \( x ∈ (-∞, -5) ∪ (-2, +∞) \).

Теперь решим само неравенство:

\( \log_2{(x^2 + 7x + 10)} < -2 \).

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства:

\( x^2 + 7x + 10 < 2^{-2} \)

\( x^2 + 7x + 10 < \frac{1}{4} \)

\( x^2 + 7x + 10 - \frac{1}{4} < 0 \)

\( x^2 + 7x + 9.75 < 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 7x + 9.75 = 0 \). Дискриминант \( D = 7^2 - 4 · 1 · 9.75 = 49 - 39 = 10 \).

Корни \( x_1 = \frac{-7 + ·√10}{2} \) и \( x_2 = \frac{-7 - ·√10}{2} \).

\( x_1 ≈ \frac{-7 + 3.16}{2} = \frac{-3.84}{2} = -1.92 \).

\( x_2 ≈ \frac{-7 - 3.16}{2} = \frac{-10.16}{2} = -5.08 \).

Парабола \( y = x^2 + 7x + 9.75 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 7x + 9.75 < 0 \) при \( \frac{-7 - ·√10}{2} < x < \frac{-7 + ·√10}{2} \).

Теперь учтём ОДЗ: \( x ∈ (-∞, -5) ∪ (-2, +∞) \) и решение неравенства \( x ∈ (\frac{-7 - ·√10}{2}, \frac{-7 + ·√10}{2}) \).

Пересечением этих интервалов будет \( (\frac{-7 - ·√10}{2}, -5) \).

\( \frac{-7 - ·√10}{2} ≈ -5.08 \), \( \frac{-7 + ·√10}{2} ≈ -1.92 \).

Интервал решения: \( (-5.08, -1.92) \).

Пересекаем с ОДЗ \( (-∞, -5) ∪ (-2, +∞) \).

Получаем: \( (\frac{-7 - ·√10}{2}, -5) \).

Ответ: \( (\frac{-7 - ·√10}{2}, -5) \).