10) В коробке лежат три чёрных, три белых и два красных шара. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары окажутся одного цвета?

Решение:

1. Общее количество шаров в коробке: \( 3 \) (чёрных) + \( 3 \) (белых) + \( 2 \) (красных) = \( 8 \) шаров.
2. Общее число способов выбрать 2 шара из 8 равно числу сочетаний \( C_8^2 \):
3. \( C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \).
4. Число способов выбрать 2 шара одного цвета:
• Выбрать 2 чёрных шара из 3: \( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \) способа.
• Выбрать 2 белых шара из 3: \( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \) способа.
• Выбрать 2 красных шара из 2: \( C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1 \) способ.
5. Общее число благоприятных исходов (шары одного цвета) = \( 3 + 3 + 1 = 7 \).
6. Вероятность того, что вынутые шары окажутся одного цвета, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
7. \( P(\text{одного цвета}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).

Ответ: 1/4.