13) Дан треугольник АВС такой, что АС=BC=6, cos∠A=(, Отрезок АН - высота этого треугольника. Найдите длину отрезка СН.

Решение:

1. Так как \( AC = BC \), треугольник \( ABC \) — равнобедренный.
2. Угол \( A \) равен углу \( B \).
3. Нам дан \( cos(\angle A) \). По условию, \( cos(\angle A) = \cos(\angle B) \).
4. Отрезок \( AH \) — высота, проведенная к стороне \( BC \).
5. В прямоугольном треугольнике \( AHC \) (\( \angle AHC = 90° \)): \( CH = AC \cdot \cos(\angle C) \).
6. Нам нужно найти \( cos(\angle C) \).
7. По теореме косинусов для треугольника \( ABC \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos(\angle C) \).
8. Также, \( AB^2 = b^2 \) (где \( b \) — длина стороны \( AB \)).
9. \( b^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot cos(\angle C) \) \( \implies b^2 = 72 - 72 \cos(\angle C) \).
10. В равнобедренном треугольнике \( ABC \), \( \angle C = 180° - 2\angle A \).
11. \( cos(\angle C) = cos(180° - 2\angle A) = -cos(2\angle A) \).
12. Используем формулу косинуса двойного угла: \( cos(2\angle A) = 2\cos^2(\angle A) - 1 \).
13. \( cos(\angle C) = -(2\cos^2(\angle A) - 1) = 1 - 2\cos^2(\angle A) \).
14. По условию, \( cos(\angle A) = \frac{1}{3} \).
15. \( cos(\angle C) = 1 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \).
16. Теперь найдем длину отрезка \( CH \). В прямоугольном треугольнике \( AHC \), \( CH \) является прилежащим катетом к углу \( C \).
17. \( CH = AC \cdot cos(\angle C) = 6 \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{9} = \frac{14}{3} \).

Ответ: 14/3.