15) Какой наименьший диаметр должно иметь бревно, чтобы из него можно было выпилить брус, имеющий сечением прямоугольник, длины сторон которого относятся как 2:1, а площадь равна 1000 см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

1. Пусть стороны прямоугольника сечения бруса равны \( 2x \) и \( x \).
2. Площадь сечения: \( S = (2x) \cdot x = 2x^2 \).
3. По условию \( S = 1000 \) см².
4. \( 2x^2 = 1000 \) \( \implies x^2 = 500 \) \( \implies x = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \) см.
5. Стороны сечения: \( x = 10\sqrt{5} \) см и \( 2x = 20\sqrt{5} \) см.
6. Наименьший диаметр бревна, из которого можно выпилить брус, равен диагонали прямоугольника сечения.
7. По теореме Пифагора, диагональ \( d \) равна: \( d^2 = (2x)^2 + x^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2 \).
8. \( d^2 = 5 \cdot (10\sqrt{5})^2 = 5 \cdot (100 \cdot 5) = 5 \cdot 500 = 2500 \).
9. \( d = \sqrt{2500} = 50 \) см.

Ответ: 50 см.