17) Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 9 и 17. Найдите меньшее из оснований этой трапеции. Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \) ( \( a > b \)).
2. Средняя линия трапеции \( m = \frac{a+b}{2} \).
3. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: \( \frac{a-b}{2} \).
4. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен средней линии: \( m = \frac{a+b}{2} \).
5. В условии сказано, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 9 и 17.
6. Эти отрезки — средняя линия и отрезок, соединяющий середины диагоналей.
7. Средняя линия больше, чем отрезок, соединяющий середины диагоналей (так как \( a > b \)).
8. Значит, \( m = 17 \) и \( \frac{a-b}{2} = 9 \).
9. Из \( m = 17 \) следует: \( \frac{a+b}{2} = 17 \) \( \implies a+b = 34 \).
10. Из \( \frac{a-b}{2} = 9 \) следует: \( a-b = 18 \).
11. Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} a+b = 34 \\ a-b = 18 \end{cases} \)

1. Сложим уравнения: \( (a+b) + (a-b) = 34 + 18 \) \( \implies 2a = 52 \) \( \implies a = 26 \).
2. Подставим \( a=26 \) в первое уравнение: \( 26 + b = 34 \) \( \implies b = 8 \).
3. Основания трапеции равны 26 см и 8 см.
4. Меньшее основание равно 8 см.
5. Углы при одном из оснований равны 50° и 40°. Сумма углов при одном основании трапеции равна 180°. \( 50° + 40° = 90° \). Это значит, что эти углы относятся к разным основаниям, или трапеция не является равнобедренной.
6. Если углы 50° и 40° относятся к одному основанию, то их сумма должна быть 180°. Так как \( 50° + 40° = 90° \), эти углы относятся к разным основаниям.
7. Пусть \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее. Углы при основании \( a \) равны \( \alpha \) и \( \beta \), а при основании \( b \) равны \( \gamma \) и \( \delta \).
8. \( \alpha + \beta = 180° \) и \( \gamma + \delta = 180° \).
9. В данном случае, возможно, дана информация об углах при одном из оснований, которая не влияет на решение задачи с отрезками.

Ответ: 8.