18) От пристани А к пристани В, расстояние между которыми 30 км, отправился плот, двигаясь по течению реки со скоростью, равной скорости течения. Одновременно с этим от пристани В к пристани А отправилась моторная лодка. Лодка проплыла мимо плота через 2 часа и прибыла к пристани А на 1 час 40 минут раньше, чем плот прибыл к пристани В. Определите скорость течения реки (в км/ч). Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Пусть \( v \) — скорость течения реки (в км/ч).
2. Скорость плота = \( v \) км/ч.
3. Скорость лодки относительно берега = \( v_л + v \) км/ч (где \( v_л \) — скорость лодки в стоячей воде).
4. Расстояние между пристанями = 30 км.
5. Плот проплыл расстояние \( S_{плот} = v \cdot t_{плот} \).
6. Лодка проплыла расстояние \( S_{лодка} = (v_л + v) \cdot t_{лодка} \).
7. Плот пробыл в пути \( t_{плот} = \frac{30}{v} \) часов.
8. Лодка прибыла к пристани А на 1 час 40 минут (\( 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) часа) раньше плота.
9. Время лодки в пути \( t_{лодка} = t_{плот} - \frac{5}{3} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \) часов.
10. Лодка проплыла 30 км, значит, \( 30 = (v_л + v) \cdot (\frac{30}{v} - \frac{5}{3}) \).
11. Плот и лодка встретились через 2 часа. За это время плот проплыл \( 2v \) км. Расстояние от пристани А до места встречи = \( 2v \) км.
12. Лодка за 2 часа проплыла \( (v_л + v) \cdot 2 \) км.
13. Место встречи — это \( 2v \) км от А.
14. Время, за которое лодка доплыла до пристани А от места встречи: \( \frac{30 - 2v}{v_л + v} \).
15. Время, за которое плот доплыл до пристани В от места встречи: \( \frac{30 - 2v}{v} \).
16. Время лодки в пути = 2 часа + \( \frac{30 - 2v}{v_л + v} \) = \( \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
17. Время плота в пути = 2 часа + \( \frac{30 - 2v}{v} \) = \( \frac{30}{v} \).
18. Это упрощает задачу. Рассмотрим движение лодки: она проплыла 30 км за \( t_{лодка} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \) часов.
19. \( 30 = (v_л + v) \cdot (\frac{30}{v} - \frac{5}{3}) \).
20. Рассмотрим встречу: плот проплыл \( 2v \) км. Лодка проплыла \( v_л \cdot 2 + v \cdot 2 \) км.
21. Расстояние от А до места встречи: \( 2v \) км.
22. Расстояние от В до места встречи: \( 30 - 2v \) км.
23. Лодка прошла \( 30 - 2v \) км до встречи, и ей осталось \( 2v \) км до пристани А.
24. Время лодки до встречи = 2 ч.
25. Время лодки от места встречи до А = \( \frac{2v}{v_л + v} \).
26. Общее время лодки = \( 2 + \frac{2v}{v_л + v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
27. Скорость лодки в стоячей воде: \( v_л \).
28. \( v_л + v = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч (скорость лодки относительно берега, если бы она двигалась по течению).
29. \( v_л = 15 - v \).
30. \( 2 + \frac{2v}{15} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
31. \( 2 + \frac{v}{7.5} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
32. \( \frac{2v + 4v}{15} = \frac{90 - 5v}{3v} \).
33. \( \frac{6v}{15} = \frac{90 - 5v}{3v} \).
34. \( \frac{2v}{5} = \frac{90 - 5v}{3v} \).
35. \( 2v \cdot 3v = 5 \cdot (90 - 5v) \).
36. \( 6v^2 = 450 - 25v \).
37. \( 6v^2 + 25v - 450 = 0 \).
38. \( D = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-450) = 625 + 10800 = 11425 \).
39. \( \sqrt{D} = \sqrt{11425} = \sqrt{25 \cdot 457} = 5\sqrt{457} \approx 106.89 \).
40. \( v = \frac{-25 \pm 106.89}{12} \).
41. \( v = \frac{81.89}{12} \approx 6.82 \) или \( v = \frac{-131.89}{12} \) (отрицательное значение не подходит).
42. Проверим решение с целыми числами.
43. Пусть скорость течения = \( v \). Скорость плота = \( v \). Скорость лодки = \( v_л + v \).
44. Время плота: \( t_{плот} = \frac{30}{v} \).
45. Время лодки: \( t_{лодка} = \frac{30}{v_л + v} \).
46. \( t_{лодка} = t_{плот} - \frac{5}{3} \).
47. \( \frac{30}{v_л + v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
48. Лодка проплыла мимо плота через 2 часа.
49. Плот проплыл \( 2v \) км. Лодка проплыла \( (v_л + v) \cdot 2 \) км.
50. Место встречи: \( 2v \) км от А.
51. Время лодки до пристани А = 2 часа + \( \frac{30 - 2v}{v_л + v} \).
52. \( 2 + \frac{30 - 2v}{v_л + v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
53. \( \frac{30}{v_л + v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
54. \( v_л \) - скорость лодки в стоячей воде.
55. \( v_л + v \) - скорость лодки по течению. \( v_л - v \) - скорость лодки против течения.
56. Когда лодка плыла из В в А, она плыла против течения. Ее скорость относительно берега = \( v_л - v \).
57. \( t_{лодка} = \frac{30}{v_л - v} \).
58. \( \frac{30}{v_л - v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
59. Встреча произошла через 2 часа.
60. Плот проплыл \( 2v \) км.
61. Лодка проплыла \( (v_л - v) \cdot 2 \) км.
62. \( 2v + (v_л - v) \cdot 2 = 30 \).
63. \( 2v + 2v_л - 2v = 30 \).
64. \( 2v_л = 30 \) \( \implies v_л = 15 \) км/ч.
65. Подставим \( v_л = 15 \) в уравнение времени:
66. \( \frac{30}{15 - v} = \frac{30}{v} - \frac{5}{3} \).
67. \( \frac{30}{15 - v} = \frac{90 - 5v}{3v} \).
68. \( 30 \cdot 3v = (15 - v) (90 - 5v) \).
69. \( 90v = 15 \cdot 90 - 15 \cdot 5v - 90v + 5v^2 \).
70. \( 90v = 1350 - 75v - 90v + 5v^2 \).
71. \( 90v = 1350 - 165v + 5v^2 \).
72. \( 5v^2 - 165v - 90v + 1350 = 0 \).
73. \( 5v^2 - 255v + 1350 = 0 \).
74. Разделим на 5: \( v^2 - 51v + 270 = 0 \).
75. \( D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 270 = 2601 - 1080 = 1521 \).
76. \( \sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39 \).
77. \( v = \frac{51 \pm 39}{2} \).
78. \( v = \frac{51 + 39}{2} = \frac{90}{2} = 45 \).
79. \( v = \frac{51 - 39}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
80. Если \( v = 45 \), то скорость лодки \( 15 - 45 = -30 \), что невозможно.
81. Следовательно, \( v = 6 \) км/ч.

Ответ: 6 км/ч.