10. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 16 дм, сторона основания 24 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат. Диагональ основания \(d = 24\sqrt{2}\) дм. Апофема (высота боковой грани) \(l\) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \(H=16\) дм, половиной диагонали основания \(\frac{d}{2} = 12\sqrt{2}\) дм, и апофемой \(l\).

1. Найдем апофему \(l\) по теореме Пифагора: \(l^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2 = 16^2 + (12\sqrt{2})^2 = 256 + (144 \cdot 2) = 256 + 288 = 544\).
2. \(l = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34}\) дм.
3. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна \(S_{бок.тр} = \frac{1}{2} · \text{сторона основания} · \text{апофема}\).
4. \(S_{бок.тр} = \frac{1}{2} · 24 · 4\sqrt{34} = 12 \cdot 4\sqrt{34} = 48\sqrt{34}\) дм².
5. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех боковых треугольников: \(S_{бок.пов} = 4 \u00B7 S_{бок.тр} = 4 \u00B7 48\sqrt{34} = 192\sqrt{34}\) дм².

Ответ: \(192\sqrt{34}\) дм²