9. Вычислите площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 10 и 38 см, а непараллельные – 26 и 30 см

Решение:

Пусть \(a = 38\) см и \(b = 10\) см — основания трапеции. \(c = 26\) см и \(d = 30\) см — боковые стороны.

1. Проведем из вершины меньшего основания \(b\) высоту \(h\) и отрезок, параллельный одной из боковых сторон, к большему основанию.
2. Это позволит нам построить треугольник с боковыми сторонами \(c = 26\) и \(d = 30\), и третьей стороной, равной разности оснований \(a - b = 38 - 10 = 28\) см.
3. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона. Полупериметр \(p = \frac{26 + 30 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42\) см.
4. Площадь треугольника \(S_{тр} = \sqrt{p(p-c)(p-d)(p-(a-b))} = \sqrt{42(42-26)(42-30)(42-28)} = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 12 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 14) \cdot 16 \cdot (3 \cdot 4) \cdot 14} = \sqrt{3^2 \cdot 14^2 \cdot 16 \cdot 4} = 3 \cdot 14 \cdot 4 \cdot 2 = 336\) см².
5. Также площадь треугольника равна \(S_{тр} = \frac{1}{2} · (a-b) · h = \frac{1}{2} · 28 · h = 14h\).
6. Приравняем площади: \(14h = 336 \implies h = \frac{336}{14} = 24\) см.
7. Теперь найдем площадь трапеции по формуле: \(S_{тр-ии} = \frac{a+b}{2} · h = \frac{38+10}{2} · 24 = \frac{48}{2} · 24 = 24 · 24 = 576\) см².

Ответ: 576 см²