8. Найдите промежутки возрастания функции \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17\)

Решение:

1. Функция возрастает там, где ее производная положительна. Найдем производную функции \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17\).
2. \(y' = (x^3)' - (6x^2)' + (9x)' + (17)' = 3x^2 - 12x + 9\).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(3x^2 - 12x + 9 = 0\).
4. Разделим на 3: \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 4\) и \(x_1 · x_2 = 3\). Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\).
6. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \((-\infty; 1)\), \((1; 3)\), \((3; \infty)\).
• Возьмем \(x=0\) (интервал \((-\infty; 1)\)): \(y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0\). Функция возрастает.
• Возьмем \(x=2\) (интервал \((1; 3)\)): \(y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0\). Функция убывает.
• Возьмем \(x=4\) (интервал \((3; \infty)\)): \(y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0\). Функция возрастает.
7. Функция возрастает на интервалах, где \(y' > 0\).

Ответ: \((-\infty; 1]\) и \([3; \infty)\).