6. Вычислите \(f'(\pi)\), если \(f(x) = \ln \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\)

Решение:

1. Найдем производную функции \(f(x) = \ln \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\).
2. Используем правило производной от натурального логарифма: \((\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'\).
3. В нашем случае \(u = x - \frac{\pi}{2}\), тогда \(u' = 1\).
4. Производная равна: \(f'(x) = \frac{1}{x - \frac{\pi}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{x - \frac{\pi}{2}}\).
5. Подставим \(x = \pi\) в производную: \(f'(\pi) = \frac{1}{\pi - \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}}\).
6. Выполним деление: \(\frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}\).

Ответ: \(\frac{2}{\pi}\)