4. Упростите выражение \(\frac{\frac{1}{3}\log_{20} 64 + 3\log_{20} \sqrt[3]{5}}{\frac{1}{3}\log_{6} 27 + 4\log_{6} \sqrt[4]{2}}\)

Решение:

Упростим числитель и знаменатель отдельно.

Числитель:

1. \(\frac{1}{3}\log_{20} 64 = \log_{20} 64^{\frac{1}{3}} = \log_{20} \sqrt[3]{64} = \log_{20} 4\).
2. \(3\log_{20} \sqrt[3]{5} = \log_{20} (\sqrt[3]{5})^3 = \log_{20} 5\).
3. Числитель равен: \(\log_{20} 4 + \log_{20} 5 = \log_{20} (4 \cdot 5) = \log_{20} 20 = 1\).

Знаменатель:

1. \(\frac{1}{3}\log_{6} 27 = \log_{6} 27^{\frac{1}{3}} = \log_{6} \sqrt[3]{27} = \log_{6} 3\).
2. \(4\log_{6} \sqrt[4]{2} = \log_{6} (\sqrt[4]{2})^4 = \log_{6} 2\).
3. Знаменатель равен: \(\log_{6} 3 + \log_{6} 2 = \log_{6} (3 \cdot 2) = \log_{6} 6 = 1\).

Итоговое выражение: \(\frac{1}{1} = 1\).

Ответ: 1