10. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠ACB = 90°, AC = 15, CB = 20. CD ⟂ AB, AD = 4, CD = x, DB = y. Найдите x и y.

Для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, верны равенства: \(AC^2=AD\cdot AB\) и \(CD^2=AD\cdot DB\).

\(15^2=4(4+y)\), поэтому \(225=16+4y\), откуда \(y=\frac{209}{4}=52.25\).

Тогда \(x^2=4\cdot\frac{209}{4}=209\), значит \(x=\sqrt{209}\).

Ответ: \(x=\sqrt{209}\), \(y=\frac{209}{4}\).

Примечание: данные на рисунке несовместимы с указанным прямым углом: при катетах 15 и 20 гипотенуза равна 25, поэтому проекция AD должна быть \(15^2/25=9\), а не 4. Найденные значения используют указанное AD = 4 и теорему о высоте; все данные одновременно выполнить нельзя.