13. Решите уравнение x^2 - 2x + \(\sqrt{3-x}\) = \(\sqrt{3-x}\) + 8.

Решение:

Дано уравнение: \( x^2 - 2x + \sqrt{3-x} = \sqrt{3-x} + 8 \).

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем не может быть отрицательным:

\[ 3-x \ge 0 \]

\[ x \le 3 \]

Теперь упростим уравнение, вычтя \( \sqrt{3-x} \) из обеих частей:

\[ x^2 - 2x = 8 \]

Перенесём 8 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ (\( x \le 3 \)).

• Корень \( x_1 = 4 \) не удовлетворяет ОДЗ, так как \( 4 > 3 \).
• Корень \( x_2 = -2 \) удовлетворяет ОДЗ, так как \( -2 \le 3 \).

Следовательно, единственным решением уравнения является \( x = -2 \).

Ответ: -2