9. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 31°. Ответ дайте в градусах.

Задание 9. Параллелограмм ABCD

Дано:

• Параллелограмм ABCD
• Биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 31°.

Найти: Величину острого угла параллелограмма (предположим, $$\angle A$$ или $$\angle B$$).

Решение:

1. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. По условию, $$\angle A E B = 31^$$.
2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, $$AB Ⅰ CD$$ и $$AD Ⅰ BC$$.
3. Так как $$AD Ⅰ BC$$, то $$\angle DAE = \angle AEB$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE.
4. Следовательно, $$\angle DAE = 31^$$.
5. AE — биссектриса угла A, значит, она делит угол A пополам: $$\angle BAE = \angle DAE$$.
6. Поэтому, $$\angle BAE = 31^$$.
7. Угол A параллелограмма равен сумме углов $$\angle BAE$$ и $$\angle DAE$$: $$\angle A = \angle BAE + \angle DAE = 31^ + 31^ = 62^$$.
8. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.
9. $$\angle A + \angle B = 180^$$.
10. $$62^ + \angle B = 180^$$.
11. $$\angle B = 180^ - 62^ = 118^$$.
12. Острый угол параллелограмма — это меньший из двух углов. В данном случае, острый угол равен $$62^$$.

Ответ: 62