10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, tgA = √55 / 3. Найдите AB.

Давай найдем длину гипотенузы AB, используя данные нам сведения о прямоугольном треугольнике!

1. Вспомним, что такое тангенс угла в прямоугольном треугольнике:

$$ \tan(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $$

В нашем случае:

• Угол A.
• Противолежащий катет — это BC.
• Прилежащий катет — это AC.

Подставим известные значения:

$$ \tan(A) = \frac{BC}{AC} $$$$ \frac{\sqrt{55}}{3} = \frac{BC}{3} $$

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе части уравнения на 3:

$$ BC = \frac{\sqrt{55}}{3} \times 3 $$$$ BC = \sqrt{55} $$

Теперь у нас есть длины двух катетов: AC = 3 и BC = √55. Найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $$$$ AB^2 = 3^2 + (\sqrt{55})^2 $$$$ AB^2 = 9 + 55 $$$$ AB^2 = 64 $$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину AB:

$$ AB = \sqrt{64} $$$$ AB = 8 $$

Ответ: 8