10. В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 12. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

По условию, M — середина BC, N — середина AC. Это значит, что MN — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Треугольники CNM и ABC подобны по двум углам (угол C общий, \( ∠{CNM} = ∠{CAB} \) и \( ∠{CMN} = ∠{CBA} \) как соответственные при параллельных прямых MN || AB и секущих AC и BC).

Коэффициент подобия \( k = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2} \) (так как M и N — середины).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2 \)

\( \frac{12}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 \)

\( \frac{12}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{ABC} = 12 \times 4 = 48 \)

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} \)

\( S_{ABMN} = 48 - 12 \)

\( S_{ABMN} = 36 \)

Ответ: 36