10. Ваня едет на коньках, а навстречу ему движутся две шайбы. При этом относительно льда первая шайба массой m₁ = 200 г обладает кинетической энергией Ек₁ = 22,5 Дж, а вторая шайба массой m₂ = 800 г — энергией Ек₂ = 10 Дж. Определите модуль скорости v₃ Вани относительно льда, если кинетические энергии шайб относительно Вани равны.

Объяснение:

Обозначим скорости шайб относительно льда как $$v_1$$ и $$v_2$$, а скорость Вани относительно льда как $$v_3$$. Скорости шайб относительно Вани будут $$v_{1,Ваня} = v_1 - v_3$$ и $$v_{2,Ваня} = v_2 - v_3$$. Поскольку шайбы движутся навстречу Ване, их скорости относительно Вани будут иметь противоположный знак. Для расчета кинетической энергии нам важен модуль скорости. Будем считать, что $$v_1$$ и $$v_2$$ направлены в одну сторону, а $$v_3$$ - в противоположную. Если шайбы движутся навстречу Ване, то их скорости относительно Вани будут $$v_{1,Ваня} = v_1 + v_3$$ и $$v_{2,Ваня} = v_2 + v_3$$. Это проще, так как мы ищем модуль скорости.

1. Найдем скорости шайб относительно льда:

Из $$E_k = \frac{1}{2}mv^2$$, следует $$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$$.

Переведем массы в кг:

$$m_1 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$$

$$m_2 = 800 \text{ г} = 0.8 \text{ кг}$$

$$v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 22.5 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{45}{0.2}} = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$$

$$v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 10 \text{ Дж}}{0.8 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{20}{0.8}} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}$$

2. Запишем условие равенства кинетических энергий шайб относительно Вани:

$$E_{k1, Ваня} = E_{k2, Ваня}$$

$$\frac{1}{2}m_1(v_1 + v_3)^2 = \frac{1}{2}m_2(v_2 + v_3)^2$$

$$m_1(v_1 + v_3)^2 = m_2(v_2 + v_3)^2$$

Подставим известные значения:

$$0.2 \times (15 + v_3)^2 = 0.8 imes (5 + v_3)^2$$

Разделим обе части на 0.2:

$$(15 + v_3)^2 = 4 imes (5 + v_3)^2$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$15 + v_3 = \pm 2(5 + v_3)$$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $$15 + v_3 = 2(5 + v_3)$$

$$15 + v_3 = 10 + 2v_3$$

$$v_3 = 15 - 10 = 5 \text{ м/с}$$

Случай 2: $$15 + v_3 = -2(5 + v_3)$$

$$15 + v_3 = -10 - 2v_3$$

$$3v_3 = -25$$

$$v_3 = -25/3 \text{ м/с}$$. Модуль скорости не может быть отрицательным, поэтому этот случай не подходит.

Проверка:

Если $$v_3 = 5$$ м/с:

Скорость первой шайбы относительно Вани: $$v_{1,Ваня} = 15 + 5 = 20$$ м/с.

$$E_{k1, Ваня} = \frac{1}{2} imes 0.2 imes (20)^2 = 0.1 imes 400 = 40$$ Дж.

Скорость второй шайбы относительно Вани: $$v_{2,Ваня} = 5 + 5 = 10$$ м/с.

$$E_{k2, Ваня} = \frac{1}{2} imes 0.8 imes (10)^2 = 0.4 imes 100 = 40$$ Дж.

Кинетические энергии равны. Это подтверждает наш результат.

Ответ: 5 м/с